翻译Two-Step Melting in Two Dimensions：First-Order Liquid-Hexatic Transition

以下内容是对文献 E. P. Bernard and W. Krauth, Phys. Rev. Lett. 107, 155704 (2011) — Two-Step Melting in Two Dimensions: First-Order Liquid-Hexatic Transition 的机翻与简单修改。

翻译可能存在一些不足之处，还望见谅。

摘要#

在薄膜或界面中实现的二维熔化，是自然界中最迷人的相变之一，但人们对它的理解仍不完整。即使对于最基本的硬盘模型，经过五十年的研究，其熔化机制仍未形成共识。近年来发展的蒙特卡罗算法使我们能够充分热化足够大的系统，从而进入热力学区间。我们证明，硬盘系统的熔化经历两个转变步骤，涉及液相、六角相和固相三个相。六角相—固相转变是连续的；令人惊讶的是，液相—六角相转变是一级转变。这一熔化图景解决了一个基础统计物理模型中的长期争议，而该模型也是大量理论、计算与实验研究的基础。

正文#

由于涨落的重要性，一般的二维粒子系统在有限温度下无法结晶 ¹ ² ³，但它们可以形成固体 ⁴。这一悖论为阐明二维空间维度的基本熔化转变提供了动力。晶体的特征是粒子位置围绕着无限规则晶格的位置波动。它具有长程位置序。键的方向在整个晶格中也是相同的。因此，晶体具有长程取向序。二维固体的位置相关性在远距离处幂律衰减到零。由于缺乏尺度，人们称之为“准长程”序。在二维固体中，晶格畸变保持了长程取向序 ⁵，而在液体中，位置和取向相关性均呈指数衰减。

除了固体和液体之外，还有第三种相称为“六角相”，但从未在粒子系统中被明确识别。六角相的特征是指数位置相关性，但是具有准长程的取向相关性。长期以来，人们一直在讨论熔化转变是遵循与三维空间维度中相同的液体和固体 (不考虑六角相) 之间的一步一级情景 ⁶，还是与著名的 Kosterlitz、Thouless、Halperin、Nelson 和 Young (KTHNY) ⁷ ⁸ ⁹ 的两步情景一致，其中六角相通过连续转变与液体和固体分开来 ¹⁰ ¹¹ ¹² ¹³ ¹⁴ ¹⁵ ¹⁶ ¹⁷ ¹⁸。

二维熔化是在最简单的粒子系统 (硬盘模型) 中被发现的 ⁴。硬盘 (半径为 $\sigma$ ) 是没有结构的，非重叠硬盘的所有构型都具有零势能。两个孤立的硬盘只受到硬核排斥，但其他硬盘介导了一种熵的“耗尽”相互作用 (参见，例如 ¹⁹)。相变是由“从无序中产生有序”的现象引起的：在高密度下，有序的构型可以允许更大的局部波动，从而具有比无序液体更高的熵。对于硬盘，液体和气体之间没有区别。在固定密度 $\eta$ 下，相图与温度 $T=1/k_B \beta$ 无关，并且压力与 $T$ 成正比，正如 D. Bernoulli 在 1738 年发现的那样。即使对于这个基本模型，关于熔化转变的性质也没有达成一致。

自从 Metropolis 等人的原始工作以来，硬盘模型一直使用局部蒙特卡洛算法进行模拟 ²⁰。最近才开发了更快的集体移动“事件链”蒙特卡洛算法 ²¹ (参见 ²²)。我们将使用它来证明，熔化转变既不遵循一步一级，也不遵循两步连续 KTHNY 情景。

为了量化取向序，我们通过复向量 $\Psi_k=\left\langle \exp {(6i \phi_{kl})} \right\rangle$ 来表示盘子 $k$ 的局部取向，其中 $\langle\rangle$ 表示对 $k$ 的所有邻居 $l$ 进行平均。角度 $\phi_{kl}$ 描述了键 $kl$ 相对于固定轴的取向。样品的取向被定义为 $\Psi=1/N \sum_k \Psi_k$ 。对于完美的三角晶格，所有的角度 $6 \phi_{kl}$ 都相同，且 $|\Psi_k|=|\Psi|=1$ (参见 ²²)。

在图 1 中，体积 $V$ 的方框中，具有密度为 $\eta=N \pi \sigma^2/V=0.708$ 的正方形容器中包含有 $N=1024^2$ 个圆盘的构型的局部取向被投影到样品方向上，并使用颜色代码表示 (参见 ²²)。在这个构型中，保持长程取向序的密度约为 $\sim 0.716$ 的垂直条纹与密度约为 $\sim 0.700$ 的无序液体条纹共存。每个条纹对应于不同的相。长度约为 $\sqrt{N}$ 的两个界面通过周期性边界条件相互闭合。如图 1a 所示的条纹状相在共存区间 $\eta \in [0.700,0.716]$ 的中心找到，而在其端点附近， $\eta \gtrsim 0.700$ 和 $\eta \lesssim 0.716$ 的多数相内部存在少数相的“气泡” (见图 2)。这种相共存是一级转变的特征。

一级转变出现在平衡态状态方程 $P(V)$ 中 (见图 2)。在有限的 $N$ 下，自由能不一定是凸的 (如在无限系统中)，而平衡压力 $P(V)=-\partial F/\partial V$ 可以由于界面自由能，可以形成一个热力学稳定的环路。有限系统共存窗口中的压力环路由少数相气泡与周围多数相之间的弯曲界面引起的 (见图 2b 和图 2d)。在具有周期性边界条件的系统中，压力回路包含与“条纹”状态相对应的水平部分，其中界面是平坦的。对于图 2 中最大的系统，这在 $\eta \sim 0.708$ 处可见。在有限系统中，麦克斯韦构造抑制了界面效应。对于图 2a 的状态方程，这个构造确认了图 1 共存区间的边界密度 $\eta=0.700$ 和 $\eta=0.716$ ，并且具有非常小的有限尺寸效应。每个圆盘的界面自由能，即图 2 中的阴影区域，取决于条纹区域中界面的长度 $\propto \sqrt{N}$ ，因此 $\Delta f=\Delta F/N \propto 1/\sqrt{N}$ (见图 2f)。

因此，涉及液体的一级转变的性质通过以下几点得到证实：(i) 图 1 中的相共存的视觉证据，(ii) 每个圆盘的界面自由能的 $\propto 1/\sqrt{N}$ 缩放 ²³，以及 (iii) 有限周期系统中状态方程的特征形状 ²⁴ ²⁵ ²⁶。我们强调系统尺寸大于物理长度尺度，因此结果适用于热力学极限 (参见 ²²)。

在共存区间，由于界面波动，各个单独的相难以在大长度尺度上分析，只有低密度共存相被确定为具有低于 $\sim 100\sigma$ 尺度的取向相关性的液体 (见图 1a 和图 1d)。与定 $N,V$ 模拟不同，吉布斯系综模拟可以在没有界面的情况下具有相共存，但是这些模拟在大 $N$ 时非常缓慢 (参见 ²²)。在密度 $\eta=0.718$ 的单相系统对于所有 $N$ 都在共存窗口之上 (见图 2)，这使我们能够表征高密度共存相。

位置序可以通过二维对关联函数 $g(\Delta \mathbf{r})$ 来研究，它是从所有 $N(N-1)/2$ 对 $i,j$ 的周期性对距离 $\Delta\mathbf{r}_{ij}=\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}$ 中采样得到的高分辨率直方图。为了在构型上平均这个二维直方图 (如图 3 所示)，后者被定向，使得 $\Delta x$ 轴指向样品取向 $\Psi$ 的方向。在短距离处， $\eta=0.718$ 处的六角序是显而易见的 (见图 3a)。在小尺度 $|\Delta\mathbf{r}| \gtrsim 2\sigma$ 下， $g(\Delta \mathbf{r})$ 峰谷之间的优秀对比，强调了该密度下系统的单相性质。沿着正 $\Delta x$ 轴的直方图截面，毫无疑问表明系统在 $\sim 100\sigma$ 长度尺度上具有指数衰减的位置序，并不可能是固体。通过对 $g(\Delta \mathbf{r})$ 进行傅里叶变换，计算得到的 (一维) 位置相关函数 $c_\mathbf{k}(r)$ 完全证实了这些陈述 (参见 ²²)。

在密度 $\eta=0.718$ 处，取向相关性衰减极其缓慢，不允许我们区分准长程序和长程序 (参见 ²²)。然而，短程的位置相关性与长程取向序不一致。因此，可以得出结论，取向序必须是衰减知乎 $\lesssim 0$ 的准长程序，并且在 $\eta=0.718$ 处的系统和高密度共存相都是六角相。

图 3b 中的二维对关联函数 $g(\Delta\mathbf{r})-1$ 允许我们追踪从六角相到固相的转变：位置序随着密度增加连续增加，并在密度 $\eta \sim 0.720$ 处呈现交叉到幂律行为，其幂指数约为 $-1/3$ ，对应于 KTHNY 情景中固相的稳定极限。因此，六角-固体转变发生在 $\eta \gtrsim 0.720$ 处。在这个密度下，位置关联函数在大距离 $r$ 处显示出连续转变的特征有限尺寸效应，但是在几百个 $\sigma$ 范围内， $c_\mathbf{k}$ 随着系统尺寸的增加而很好地稳定 (参见 ²²)。此外，在状态方程中没有观察到压力环路，并且压缩性保持非常小。系统明显处于单相状态。与液相-六角相转变不同，六角相-固相转变因此遵循了 KTHNY 情景，并且是连续的。

单相的六角相区间限制在密度区间 $\eta \in [0.716,0.720]$ 。尽管很窄，但它比我们最大系统设置的密度波动尺度大一个数量级，并且可以很容易地解析（参见 ²²）。在六角相中，取向相关性衰减极其缓慢。取向相关性的指数是接近于零的负值。它远低于连续的 KTHNY 转变的下限 $-1/4$ ，因为这一转变被一级不稳定性所取代。

事件链算法比迄今为止使用的局部蒙特卡洛算法快了大约两个数量级，这使我们首次能够热化密集系统，其中包含多达 $1024^2$ 个圆盘。为了说明向热平衡的收敛，并检查在密度区间 $\eta \in [0.700, 0.716]$ 中的硬盘确实是相分离的，我们在图 4 中展示了两个最大的系统，从完全不同的初始条件——(不稳定的) 晶体 $|\Psi|=1$ 和液体 $|\Psi| \simeq 0$ ——开始为期一周的模拟。对于这两种初始条件，都发生了一个缓慢的粗粒化过程 (见图 4a 和图4b)。经过每个圆盘 $\sim 10^6$ 次位移后，观察到相分离，且样品取向具有相似的绝对值 (见图 4c)。许多早期计算的有效模拟时间要短得多 ¹⁴,¹⁵，且模拟保持在一个在大尺度上均匀的非平衡状态，而热化系统是相分离的，因此是不均匀的。 $N=1024^2$ 的生产运行是从具有九个月运行时间的马尔可夫链中获得的，其运行时间比图 4a 和图4b 的运行时间长 30 倍。

本文提出的熔化问题的解决方案为理解薄膜、悬浮液和其他软凝聚态系统中的熔化提供了起点。获得的见解将热力学推理与强大的工具相结合：先进的模拟算法、直接可视化和稳健可靠的关联函数分析。这些工具都将得到广泛应用，例如研究从二维熔化到三维熔化的交叉，因为它是在不同约束条件 ¹⁷ 下通过球体实验实现的。

在硬盘和硬球等简单系统中，弹性和熵效应具有相同的起源：弹性力是熵诱导的。对于一般的相互作用势，熵和弹性不再严格相关，而有序-无序转变则可能随着温度或密度的变化而发生，从而实现其他熔化情景 ²⁷。对更复杂微观模型的理论、计算和实验研究将建立在本文所获得的硬盘解决方案的基础上。

我们感谢 K. Binder 和 D. R. Nelson 的有益讨论和通信。我们感谢 J. Dalibard 和 G. Bastard 对手稿的批判性阅读。

参考文献#

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See Supplemental Material at http://link.aps.org/supplemental/10.1103/PhysRevLett.107.155704 for methods, further characterization of the phase transitions, and more details about positional and orientational order, correlation functions, and finite-size effects. ↩ ↩² ↩³ ↩⁴ ↩⁵ ↩⁶ ↩⁷ ↩⁸ ↩⁹
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